So lösen Sie quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen lösen

• A. Was ist eine quadratische Gleichung?
• B. Quadratische Gleichungen lösen
• C. Quadratische Gleichungen im Kopf lösen
• D. Verwendung der Viet-et-Formel
  • Vietas Theorem
  • Viet-ets Umkehrsatz
• E. Beispiel zum Lösen einer quadratischen Gleichung
• F. Faktorisierung
• G. Lösen quadratischer Gleichungen mit Parametern

A. Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form (a≠0) (1).

Da x die Unbekannte ist und es nur eine Unbekannte gibt, spricht man auch von einer Gleichung mit einer Variablen. Die Zahlen a, b und c sind bekannte Zahlen und werden als Koeffizienten der Gleichung bezeichnet. Sie können unterschieden werden, indem man sie als quadratische Koeffizienten, Koeffizienten erster Ordnung und freie oder konstante Koeffizienten bezeichnet.

Eine quadratische Gleichung ist eine Art Polynomgleichung; sie enthält nur Potenzen von x, die natürliche Zahlen sind.

Das Lösen einer quadratischen Gleichung besteht darin, die Werte von x so zu bestimmen, dass beim Einsetzen von x in Gleichung (1) ax2+bx+c=0 erfüllt ist. Es gibt vier gängige Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen: Faktorisierung; Quadratkomplementmethode; Verwendung der Wurzelformel; grafische Darstellung.

B. Quadratische Gleichungen lösen

Schritt 1: Berechnen Sie Δ=b2-4ac

Schritt 2: Vergleichen Sie Δ mit 0

• Δ < 0=""> Gleichung (1) hat keine Lösung
• Δ = 0 => Gleichung (1) hat eine doppelte Lösung
• Δ > 0 => Gleichung (1) hat 2 verschiedene Lösungen, wir verwenden die folgende Lösungsformel :

Und

C. Quadratische Gleichungen im Kopf lösen

• Wenn die Gleichung a + b + c = 0 ergibt , dann hat die Gleichung eine Lösung.
• Wenn die Gleichung a - b + c = 0 ist, dann hat die Gleichung die Lösung:

D. Verwendung der Viet-et-Formel

Vietas Theorem

Wenn die Lösung der Gleichung ist, dann

Viet-ets Umkehrsatz

Wenn zwei Zahlen existieren, dann sind sie Lösungen der Gleichung (existiert, wenn)

E. Beispiel zum Lösen einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1: Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung: x2 - 49x - 50 = 0

Lösungsleitfaden

Methode 1: Verwenden Sie die Wurzelformel (a = 1; b = -49; c = -50)

Da ∆ > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene Lösungen.

Methode 2: Kopfrechnen

Weil a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

Methode 3:

Nach Viets Theorem gilt:

Die Gleichung hat also zwei Lösungen:

Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichung 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => die gegebene Gleichung (2) hat 2 verschiedene Lösungen.

Und

Sie können die Lösung auch schnell im Kopf ausrechnen, da Sie sehen, dass 4-(-2)+6=0 ist, also x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Die Lösung ist immer noch dieselbe wie oben.

Beispiel 3: Lösen Sie die Gleichung 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Berechnen Sie Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) hat 2 verschiedene Lösungen:

Und

Um zu überprüfen, ob Sie die Lösung richtig berechnet haben, ist es ganz einfach: Setzen Sie einfach x1 und x2 in Gleichung 3 ein. Wenn das Ergebnis 0 ist, ist die Lösung korrekt. Setzen Sie beispielsweise x1, 2,32-7,3+3=0 ein.

Beispiel 4: Lösen Sie die Gleichung 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Berechnen Sie Δ = 22 – 4.3.5 = -56 < 0=""> Gleichung (4) hat keine Lösung.

Beispiel 5: Lösen Sie die Gleichung x2 – 4x +4 = 0 (5)

Berechnen Sie Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => Gleichung (5) hat eine doppelte Lösung:

Tatsächlich können Sie, wenn Sie geistesgegenwärtig sind, auch erkennen, dass dies die einprägsame Identität (ab)2 = a2 – 2ab + b2 ist, sodass es einfach ist, (5) als (x – 2)2 = 0 <=> x=2 umzuschreiben.

F. Faktorisierung von Polynomen

Wenn Gleichung (1) zwei verschiedene Lösungen x1, x2 hat, können Sie sie immer in der folgenden Form schreiben: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Kehren wir zu Gleichung (2) zurück. Nachdem Sie zwei Lösungen x1 und x2 gefunden haben, können Sie sie in der Form schreiben: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Lösen quadratischer Gleichungen mit Parametern

1. Gleichung mit Lösung

2. Gleichung ohne Lösung

3. Die Gleichung hat eine eindeutige Lösung (Doppellösung oder zwei gleiche Lösungen)

4. Die Gleichung hat zwei unterschiedliche Lösungen.

5. Die Gleichung hat zwei Lösungen mit demselben Vorzeichen.

6. Die Gleichung hat zwei Lösungen mit entgegengesetzten Vorzeichen.

7. Die Gleichung hat zwei positive Wurzeln (zwei Wurzeln größer als 0)

8. Die Gleichung hat zwei negative Wurzeln (zwei Wurzeln kleiner als 0)

9. Die Gleichung hat zwei entgegengesetzte Lösungen.

10. Zwei inverse Lösungen

Dinge, die Sie beachten sollten:

Neben der quadratischen Gleichung gibt es auch den Satz von Viet mit vielen Anwendungsmöglichkeiten, wie z. B. die Berechnung der Wurzeln der oben erwähnten quadratischen Gleichung, das Finden von zwei Zahlen bei bekannter Summe und Produkt, das Bestimmen der Vorzeichen der Wurzeln oder das Faktorisieren. All dies sind notwendige Kenntnisse, die Sie später beim Erlernen der Algebra oder bei den Übungen zum Lösen und Besprechen quadratischer Gleichungen benötigen. Sie müssen sich diese Kenntnisse daher gut merken und flüssig üben.

Wenn Sie Programmieren studieren möchten , müssen Sie außerdem über grundlegende oder – je nach Projekt – sogar fortgeschrittene mathematische Kenntnisse verfügen.