Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers und anschauliche Beispiele

Was ist ein Rotationskörper? Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers?

Ein Rotationskörper ist eine Form, die durch die Drehung einer Ebene um eine feste Achse entsteht, beispielsweise ein Rotationskegel, ein Rotationszylinder, eine Rotationskugel usw. Nachfolgend finden Sie die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers. Bitte beachten Sie diese.

Inhaltsverzeichnis

• Berechnen Sie das Volumen eines kreisförmigen Blocks, der um die Ox-Achse gedreht wird
• Berechnen Sie das Volumen eines kreisförmigen Blocks, der um die Oy-Achse gedreht wird
• Beispiel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Berechnen Sie das Volumen eines kreisförmigen Blocks, der um die Ox-Achse gedreht wird

Wenn sich der kreisförmige Block um die Ox-Achse dreht, können die folgenden Formeln angewendet werden, um das Volumen des rotierenden kreisförmigen Blocks zu berechnen:

Fall 1 : Rotierender kreisförmiger Block, erstellt durch:

• Linie y= f(x)
• x-Achse y=0
• x=a; x=b

Die Formel zur Berechnung des Volumens lautet dann:

Fall 2 : Der rotierende Block wird erstellt durch:

• Linie y= f(x)
• Linie y= g(x)
• x=a; x=b

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers lautet dann:

mit

Berechnen Sie das Volumen eines kreisförmigen Blocks, der um die Oy-Achse gedreht wird

Wenn sich der kreisförmige Block um die Oy-Achse dreht, können die folgenden Formeln angewendet werden, um das Volumen des rotierenden kreisförmigen Blocks zu berechnen:

Fall 1 : Der rotierende Block wird erstellt durch:

• Linie x=g(y)
• Vertikale Achse (x=0)
• y=c; y=d

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers lautet dann:

Fall 2 : Der rotierende Block entsteht durch

• Linie x=f(y)
• Die Gleichung x=g(y)
• y=c; y=d

Dann beträgt das Volumen des Rotationskörpers:

mit

Übersichtstabelle der Formeln zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers:

1. Vx, erzeugt durch die Fläche S, die um Ox rotiert:

Rezept :

2. Vx, erzeugt durch die Fläche S, die um Ox rotiert:

Rezept :

Beispiel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Beispiel 1: 

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Drehung der ebenen Figur, die durch die Kurve y = sinx, die x-Achse und zwei Geraden x=0, x=π (Zeichnung) begrenzt ist, um die Ox-Achse entsteht.

Lösung

Wenn wir die Formel im obigen Theorem anwenden, erhalten wir

Beispiel 2: 

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Drehen der durch die Kurve und die x-Achse begrenzten ebenen Figur um die x-Achse entsteht.

Preis:

Wir sehen:

Für jedes x ist dies also die Gleichung eines Halbkreises mit Mittelpunkt O und Radius R = A über der Ox-Achse. Bei Drehung um die Ox-Achse bildet die Ebene eine Kugel mit Mittelpunkt O und Radius R = A (Abbildung). Daher gilt immer

 

Daher müssen wir bei dieser Art von Problem die Integrationsformel nicht schreiben, sondern können auf der Grundlage der Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel Schlussfolgerungen ziehen.

Beispiel 3: 

Berechnen Sie das Volumen des Objekts, das zwischen zwei Ebenen x = 0 und x = 1 liegt, wobei Sie wissen, dass der Querschnitt des Objekts, der durch die Ebene (P) senkrecht zur Ox-Achse am Punkt mit der Abszisse x(0≤x≤1) geschnitten wird, ein Rechteck mit zwei Seitenlängen x und ln(x2+1) ist.

Preis: 

Da der Querschnitt rechteckig ist, beträgt die Querschnittsfläche:

Wir haben das Volumen zu berechnen als

Beispiel 4: Gegeben sei eine ebene Figur, die durch die Linien y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 begrenzt ist und sich um die Ox-Achse dreht. Berechnen Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

Preis:

Die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden x = 1 mit y = x und y = 3x sind die Punkte C(1;1) und B(3;1). Die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden y = 3x mit y = x sind O(0;0).

Das zu berechnende Volumen des rotierenden Festkörpers beträgt also:

Beispiel 5 : Gegeben sei eine ebene Figur, die durch die Linien y = 2x2; y2 = 4x begrenzt ist und sich um die Ox-Achse dreht. Berechnen Sie das Volumen des resultierenden kreisförmigen Körpers.

Preis:

Mit ist äquivalent. Die Koordinaten des Schnittpunkts der Linie mit sind die Punkte O(0;0) und A(1;2).

Das zu berechnende Volumen des rotierenden Festkörpers beträgt also:

Bei Problemen, bei denen das Volumen eines Rotationskörpers berechnet werden muss, müssen Sie lediglich die jeweils richtige Formel verwenden und bei der Bestimmung der Grenze vorsichtig sein, um das Problem lösen zu können. Viel Glück.