Was ist eine Quadratzahl? Wie man sie erkennt und ausführliche Beispiele

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die dem Quadrat einer ganzen Zahl entspricht. Im folgenden Artikel erfahren Sie mehr über die Eigenschaften, wie man Quadratzahlen erkennt und berechnet, um diese Art von Zahlen besser zu verstehen.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist eine Quadratzahl?
  • So identifizieren Sie Quadratzahlen
  • Teilbarkeit von Quadratzahlen
  • Kleinste Quadratzahl
  • Größte Quadratzahl
  • Identische Konstante zur Berechnung der Differenz zweier Quadratzahlen
  • Eigenschaften von Quadratzahlen
• Quadratzahlen
• Beispiele für Quadratzahlen
• Übungen zu Quadratzahlen

Was ist eine Quadratzahl?

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die das exakte Quadrat einer ganzen Zahl ist. Oder einfach ausgedrückt: Eine Quadratzahl ist eine natürliche Zahl, deren Quadratwurzel ebenfalls eine natürliche Zahl ist.

Zu den Ganzzahlen zählen positive Ganzzahlen (1, 2, 3, …), negative Ganzzahlen (-1, -2, -3, …) und 0. Die Menge der Ganzzahlen wird mit Z bezeichnet.

Die Quadratwurzel einer Quadratzahl hat jedoch nur natürliche Werte, also positive ganze Zahlen.

Zum Beispiel:

Die Zahl 4 ist eine Quadratzahl, da das Quadrat der Zahl 2 4 ist.

9 ist eine Quadratzahl (weil 9 dem Quadrat von 3 entspricht).

So identifizieren Sie Quadratzahlen

1. Schauen Sie sich die letzte Ziffer an : Die letzte Ziffer einer Quadratzahl ist 0, 1, 4, 5, 6, 9. Zahlen, die auf 2, 3, 7, 8 enden, werden nicht als Quadratzahlen bezeichnet.

2. Schauen Sie sich die letzte Ziffer an: Eine Quadratzahl kann nur eine von zwei Formen haben: 4n oder 4n + 1, keine Quadratzahl hat die Form 4n + 2 oder 4n + 3 (mit n € N).

Beispiel: Angenommen, n = 1, dann hat die Quadratzahl die Form 4 x n = 4. Oder n = 2, dann hat die Quadratzahl die Form 4 x 2 + 1 = 9.

Es kann nicht die Form 4 x 2 + 2 = 10 oder 4 x 2 + 3 = 11 haben.

3. Die Zehnerstelle einer Quadratzahl ist gerade, wenn die letzte Ziffer 1 oder 9 ist.

Zum Beispiel: Die Quadratzahl 81 (Quadrat von 9).

4. Die Zehnerstelle einer Quadratzahl, die auf 5 endet, ist 2.

Zum Beispiel: Die Quadratzahl 225 (Quadrat von 15).

5. Wenn die Quadratzahl auf 4 endet, ist die Zehnerstelle eine gerade Zahl.

Zum Beispiel: Die Quadratzahl 64 (Quadrat von 8).

6. Wenn die Quadratzahl auf 6 endet, ist die Zehnerstelle ungerade.

Zum Beispiel: Die Quadratzahl 16 (Quadrat von 4).

7. Wenn eine Quadratzahl in Primzahlen zerlegt wird, enthält sie nur Primfaktoren mit geradem Exponenten.

Beispiel: Die Quadratzahl 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4.

Teilbarkeit von Quadratzahlen

Eine Quadratzahl, die durch eine Primzahl p teilbar ist, ist auch durch p^2 teilbar und umgekehrt.

• Eine durch 2 teilbare Quadratzahl ist durch 2^2 = 4 teilbar.
• Eine durch 3 teilbare Quadratzahl ist durch 3^2 = 9 teilbar.
• Eine durch 5 teilbare Quadratzahl ist durch 5^2 = 25 teilbar.
• Eine durch 8 teilbare Quadratzahl (= 2^3) ist auch durch 2^4 = 16 teilbar (geschrieben als Potenz einer Zahl).
• Die Quadratzahl 36 ( 6^2 ) ist durch 2 teilbar => 36 ist durch 4 ( 2^2 ) teilbar
• Die Quadratzahl 144 (12^2) ist durch 3 teilbar (144:3=48) => 144 ist durch 9 teilbar (144:9=16)

Kleinste Quadratzahl

Die kleinste Quadratzahl in der Menge der Quadratzahlen ist 0. Im Zahlenbereich von 0 bis 100 gibt es 10 Quadratzahlen kleiner als 100. Dazu gehören die Zahlen: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Größte Quadratzahl

• Die größte einstellige Quadratzahl ist 9.
• Die größte zweistellige Quadratzahl ist 81.
• Die größte dreistellige Quadratzahl ist 312.
• Die größte 4-stellige Quadratzahl ist 9801
• Die größte 5-stellige Quadratzahl ist 99856

Identische Konstante zur Berechnung der Differenz zweier Quadratzahlen

Zum Beispiel:

Eigenschaften von Quadratzahlen

• Formel zur Berechnung der Differenz zweier Quadratzahlen: a^2 - b^2 = (ab)(a+b).
• Wenn eine Quadratzahl durch eine Primzahl teilbar ist, dann ist sie auch durch das Quadrat dieser Primzahl teilbar.

Beispiel: Wenn die Quadratzahl 18 durch 3 teilbar ist, ist sie auch durch das Quadrat von 3 teilbar, also 9.

Quadratzahlen

Es gibt zwei Arten von Quadratzahlen:

Beispiele für Quadratzahlen

Die Zahlen 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,100, … sind alles Quadratzahlen.

4 = 2² ist eine gerade Quadratzahl.

9 = 3² ist eine ungerade Quadratzahl.

16 = 4² ist eine gerade Quadratzahl.

25 = 5² ist eine ungerade Quadratzahl.

36 = 6² ist eine gerade Quadratzahl.

49 = 7² ist eine ungerade Quadratzahl.

64 = 8² ist eine gerade Quadratzahl.

81 = 9² ist eine ungerade Quadratzahl.

100 = 10² ist eine gerade Quadratzahl.

Hinweis: Die Zahlen 0 und 1 sind ebenfalls Quadratzahlen.

Übungen zu Quadratzahlen

Lektion 1 : Welche der folgenden Zahlenreihen sind Quadratzahlen? 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560.

Lösung: Die Quadratzahlen sind 9 (3²), 81 (9²), 121 (11²), 441 (21²).

Lektion 2:  Beweisen Sie, dass die Zahl 1234567890 keine Quadratzahl ist.

Lösung: Die Zahl 1234567890 ist durch 5 teilbar (da die letzte Ziffer 0 ist), aber nicht durch 25 (da die letzten beiden Ziffern 90 sind). Daher ist die Zahl 1234567890 keine Quadratzahl.

Lektion 3 : Beweisen Sie, dass die Zahl B = 4n^4 + 4n³ + n² für jede positive ganze Zahl n eine Quadratzahl ist.

Lösung:

B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²

Wir sehen, dass B als Produkt zweier Quadratzahlen ausgedrückt werden kann. Oder B = [n(2n+1)]², und n(2n + 1) ist eine ganze Zahl. Daraus folgern wir, dass B eine Quadratzahl ist.

Lektion 4: 

Finden Sie eine natürliche Zahl n, sodass die folgende Zahl eine Quadratzahl ist: B = n² + 4n + 1.

Lösung:

Da die Zahl B eine Quadratzahl ist, setzen wir n² + 4n + 1 = b²

= 4n²+16n+4=4b²

= (4n²+16n+16)-16+4=4b²

= (2n+4)²- 4b² = 12

= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12

Beachten Sie, dass 2n+4+2b 2n+4-2b ist und dies alles positive ganze Zahlen sind. Daher können wir die entsprechenden Zahlenpaare finden: (12, 1), (6, 2) und (4, 3). Sie müssen jeden Fall einzeln betrachten, um n und b zu finden. Genauer gesagt:

• Fall 1: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4, b = 11/4
• Fall 2: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
• Fall 3: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4, b = 1/4

Da n jedoch eine natürliche Zahl ist, sind nur die Antworten n = 0, b = 1 zufriedenstellend. Und n = 0, also ist die Quadratzahl B = 1.

Hoffentlich hat Ihnen der obige Artikel nützliche Informationen geliefert, die Ihnen helfen zu verstehen, was eine Quadratzahl ist, ob 0 eine Quadratzahl ist und welche Eigenschaften und Merkmale eine Quadratzahl hat. Dadurch verfügen Sie über mehr Wissen, um Probleme und Fragen rund um Quadratzahlen zu lösen.

Neben Quadratzahlen können Sie auch andere Zahlenarten in der Mathematik kennenlernen, beispielsweise gemischte Zahlen , Brüche …